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目录1

第8章 不定积分1

8.1 原函数与不定积分1

8.1.1 原函数概念及其性质1

8.1.2 不定积分概念2

习题8.14

8.2 不定积分计算4

8.2.1 基本积分表4

8.2.2 分项积分法5

8.2.3 换元法Ⅰ（凑微分法）8

8.2.4 换元法Ⅱ12

8.2.5 分部积分法17

习题8.220

8.3 常微分方程初步24

8.3.1 基本概念24

8.3.2 变量可分离的一阶微分方程27

8.3.3 齐次方程30

8.3.4 一阶线性方程34

8.3.5 可降阶的高阶方程37

习题8.340

第8章总习题42

第9章 定积分45

9.1 定积分概念及性质45

9.1.1 定积分问题举例45

9.1.2 定积分的定义46

9.1.3 可积的条件48

9.1.4 定积分的性质50

习题9.154

9.2 变上限积分55

9.2.1 定义55

9.2.2 微积分基本定理56

习题9.259

9.3 定积分的计算60

9.3.1 牛顿（Newton）-莱布尼兹（Leibniz）公式60

9.3.2 定积分的换元法62

9.3.3 定积分的分部积分法68

9.3.4 定积分的近似计算70

习题9.370

9.4.1 广义积分概念72

9.4 广义积分72

9.4.2 两类广义积分的关系75

9.4.3 广义积分的计算76

习题9.477

9.5 定积分的应用78

9.5.1 概述（微元法）78

9.5.2 平面图形的面积80

9.5.3 立体的体积84

9.5.4 平面曲线的弧长86

9.5.5 物理应用举例89

习题9.592

第9章总习题93

10.1.2 含参量积分的连续性96

10.1.1 含参量积分的概念96

第10章 含参量积分96

10.1 含参量积分96

10.1.3 含参量积分的导数97

10.1.4 含参量积分的积分99

习题10.1102

10.2 伽玛函数与贝塔函数103

10.2.1 Γ函数的性质103

10.2.2 B函数的性质105

10.2.3 Γ函数与B函数应用举例107

习题10.2108

第10章总习题109

11.1.1 多元函数积分问题举例110

11.1 多元函数积分的概念和性质110

第11章 多元函数积分110

11.1.2 多元函数积分的定义112

11.1.3 多元函数积分的性质113

习题11.1114

11.2 二重积分的计算116

11.2.1 基本公式116

11.2.2 变量代换121

习题11.2130

11.3 三重积分的计算132

11.3.1 基本公式132

11.3.2 变量代换136

习题11.3139

11.4 曲线积分的计算141

习题11.4145

11.5 曲面积分的计算146

11.5.1 曲面的面积146

11.5.2 曲面积分计算的基本公式149

习题11.5153

11.6 多元函数积分的应用154

11.6.1 重心155

11.6.2 转动惯量158

11.6.3 引力159

习题11.6161

第11章总习题163

12.1 第二型曲线、曲面积分的概念165

第12章 第二型曲线、曲面积分165

12.1.1 第二型曲线积分的定义167

12.1.2 第二型曲面积分的定义168

习题12.1168

12.2 第二型曲线积分的性质及计算方法169

12.2.1 第二型曲线积分的坐标表达式169

12.2.2 第二型曲线积分与第一型曲线积分的关系169

12.2.3 第二型曲线积分的性质170

12.2.4 第二型曲线积分的计算170

习题12.2174

12.3 格林公式，平面上曲线积分与路径无关的条件175

12.3.1 格林公式176

12.3.2 平面曲线积分与路径无关的条件181

习题12.3184

12.4 第二型曲面积分的计算185

12.4.1 曲面的面积分在坐标面上的投影185

12.4.2 第二型曲面积分的计算185

习题12.4191

12.5 高斯（Gauss）公式192

12.5.1 高斯公式192

12.5.2 向量场的散度197

习题12.5198

12.6 斯托克斯（Stokes）公式199

12.6.1 斯托克斯公式199

12.6.2 向量场的旋度202

12.6.3 空间曲线积分与路径无关的条件204

习题12.6206

第12章总习题207

第13章 复变函数的积分209

13.1 复变函数积分的概念和性质209

13.1.1 复变函数的不定积分209

13.1.2 复变函数沿曲线积分210

习题13.1213

13.2 柯西（Cauchy）定理213

13.2.1 基本定理213

13.2.2 解析函数的原函数的存在性214

13.2.3 复合闭路定理216

习题13.2217

13.3.1 用积分表示解析函数218

13.3 解析函数的任意阶可导性218

13.3.2 用积分表示解析函数的导数220

13.3.3 解析函数的一些重要性质222

习题13.3223

第13章总习题224

第14章 常数项级数226

14.1 常数项级数的基本概念及性质226

14.1.1 常数项级数的基本概念226

14.1.2 收敛级数的基本性质230

14.1.3 级数收敛的必要条件232

14.1.4 级数收敛的充要条件235

习题14.1236

14.2.1 正项级数及其判敛法237

14.2 常数项级数的判敛法237

14.2.2 交错级数及其判敛法249

14.2.3 常数项级数的绝对收敛与条件收敛253

习题14.2258

14.3 广义积分的判敛法261

14.3.1 无穷区间上的广义积分判敛法261

14.3.2 无界函数的广义积分判敛法262

习题14.3264

第14章总习题264

第15章 幂级数、洛朗级数与傅立叶级数267

15.1 函数项级数的基本概念267

习题15.1269

15.2 幂级数及其收敛性269

15.2.1 幂级数的收敛特性269

15.2.2 幂级数的运算性质276

15.2.3 解析函数的幂级数表示280

15.2.4 初等函数的幂级数展开式284

习题15.2290

15.3 洛朗级数292

15.3.1 双边幂级数293

15.3.2 解析函数的洛朗展式294

15.3.3 洛朗级数的系数公式在计算沿封闭路径积分中的应用300

习题15.3302

15.4 解析函数的弧立奇点及留数303

15.4.1 孤立奇点及其分类303

15.4.2 留数309

习题15.4317

15.5 留数在实积分中的应用319

15.5.1 形如？R（cosx、sinx）dx的积分319

15.5.2 形如？dx的积分320

15.5.3 形如？e？dx（m>0）的积分323

习题15.5324

15.6 傅立叶级数324

15.6.1 三角函数系的正交性325

15.6.2 傅立叶级数326

15.6.3 函数展开成傅立叶级数328

习题15.6342

第15章总习题343

16.1 全微分方程、积分因子347

16.1.1 全微分方程347

第16章 常微分方程347

16.1.2 积分因子349

习题16.1353

16.2 高阶线性微分方程354

16.2.1 二阶线性齐次方程的解的结构354

16.2.2 二阶线性非齐次方程的解的结构356

16.2.3 常数变易法359

习题16.2362

16.3 二阶常系数线性齐次微分方程362

习题16.3369

16.4 二阶常系数线性非齐次微分方程370

16.4.1 f(x)=Pn(x)eλx370

16.4.2 f(x)=［Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx］373

习题16.4379

16.5 简单线性常系数微分方程组380

习题16.5383

16.6 欧拉（Euler）方程384

习题16.6386

16.7 微分方程的幂级数解法386

习题16.7390

16.8 微分方程的数值计算方法390

16.8.1 方向场390

16.8.2 欧拉方法391

16.8.3 预估—校正方法393

第16章总习题394

附录Ш Matlab软件简介396

参考文献413