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上篇3

1 行列式3

1.1 基本概念3

1.1.1 n阶行列式的定义3

目录3

1.1.2 转置行列式4

1.1.3 余子式与代数余子式4

1.2.1 行列式的性质5

1.2.2 与行列式有关的结论5

1.2 重要结论与公式5

1.3 典型例题解析7

1.3.1 具体行列式的计算7

2.3.6 分块矩阵的有关运算 37

1.3.2 抽象矩阵行列式的计算12

1.3.3 有关代数余子式的计算14

1.3.4 其它16

1.4 练习题16

2 矩阵18

2.1.6 方阵的行列式19

2.1.5 转置矩阵19

2.1.7 几类特殊矩阵19

2.1.2 矩阵的相等19

2.1.3 矩阵的线性运算19

2.1.1 矩阵的概念19

2.1 基本概念19

2.1.4 矩阵乘法19

2.1.8 可逆矩阵与逆矩阵20

2.1.9 伴随矩阵20

2.1.10 分块矩阵20

2.2 重要结论与公式21

2.2.1 矩阵的运算律与有关公式21

2.1.13 正交矩阵21

2.1.14 正（负）定矩阵21

2.1.12 矩阵的初等变换21

2.1.11 矩阵的秩21

2.2.2 矩阵运算中可能不成立的结论22

2.2.3 矩阵可逆的充要条件23

2.2.4 矩阵的等价标准形23

2.2.7 矩阵秩的有关结论24

2.2.6 等价矩阵的充要条件24

2.2.5 初等矩阵的性质24

2.2.8 一些n阶特殊矩阵的有关结果25

2.3 典型例题解析26

2.3.1 求逆矩阵26

2.3.2 求解矩阵方程28

2.3.3 求方阵的幂30

2.3.4 求矩阵的秩32

2.3.5 初等变换与初等矩阵35

2.3.7 其它39

2.4 练习题40

3 向量42

3.1 基本概念43

3.1.1 n维向量的概念43

3.1.2 向量的运算43

3.1.3 线性组合与线性表出43

3.1.10 基变换、过渡矩阵44

3.1.9 标准正交基44

3.1.8 向量的长度与夹角44

3.1.7 基、维数、坐标44

3.1.5 向量组的秩与极大无关组44

3.1.4 线性相关与线性无关44

3.1.6 向量空间44

3.2 重要结论与公式45

3.2.1 向量的运算律及性质45

3.2.2 线性表出与线性相关的关系45

3.2.4 向量组的秩与矩阵秩的关系46

3.2.5 等价向量组的性质46

3.2.3 线性相关与线性无关的判别46

3.2.6 生成子空间的有关结果47

3.2.7 过渡矩阵、坐标变换公式47

3.2.8 Schmidt正交化方法47

3.2.9 正交矩阵的有关结果47

3.3 典型例题解析48

3.3.1 向量能否由向量组线性表出的判定48

3.3.2 向量组线性相关与线性无关的判定49

3.3.3 求向量组的秩与极大无关组52

3.3.4 有关正交矩阵的判定与证明54

8.2.15 最小多项式的有关结论 155

3.3.5 求向量空间的基与维数55

3.3.6 求过渡矩阵与向量的坐标57

3.4 练习题59

4 线性方程组61

4.1 基本概念61

4.1.1 线性方程组的概念61

4.1.5 线性方程组的初等变换62

4.1.2 线性方程组的几种形式62

4.1.3 线性方程组的相容性与通解62

4.1.4 解空间与基础解系62

4.2 重要结论与公式63

4.2.1 克莱姆法则63

4.2.2 线性方程组的初等变换把线性方程组变成与它同解的方程组63

4.2.3 齐次与非齐次线性方程组的有关结果63

4.3 典型例题解析64

4.3.1 求齐次线性方程组的基础解系64

4.3.2 求解线性方程组的消元法66

4.3.3 含参数线性方程组的求解68

4.3.4 抽象线性方程组的求解71

4.3.5 求线性方程组的公共解74

4.3.6 有关平面、直线的综合题75

4.3.7 有关矩阵秩的证明77

4.4 练习题78

5 矩阵的特征值与特征向量80

5.1 基本概念80

5.1.1 特征值与特征向量80

5.1.2 特征多项式与特征方程80

5.2.1 特征值与特征向量的性质81

5.2 重要结论与公式81

5.1.4 正交相似81

5.1.3 相似矩阵81

5.1.5 可对角化81

5.2.2 相似矩阵的性质82

5.2.3 矩阵可对角化的条件82

5.3 典型例题解析82

5.3.1 求矩阵的特征值与特征向量82

5.3.2 方阵A能否对角化的判定与计算87

5.3.3 实对称矩阵正交相似于对角矩阵的计算89

5.3.4 由特征值和特征向量反求矩阵或矩阵中的参数91

5.3.5 有关特征值与特征向量的证明93

5.4 练习题94

6 二次型96

6.1 基本概念96

6.1.1 二次型96

6.1.2 二次型的矩阵表示96

6.1.9 顺序主子式97

6.1.8 负定二次型与负定矩阵97

6.1.7 正定二次型与正定矩阵97

6.1.4 正、负惯性指数97

6.1.3 二次型的标准形与规范形97

6.1.6 合同矩阵97

6.1.5 可逆变换与正交变换97

6.2.1 合同矩阵的性质98

6.2.2 二次型变换的矩阵98

6.2.3 二次型的化简98

6.2.4 主轴定理98

6.2.5 惯性定理98

6.2 重要结论与公式98

6.2.7 判断正定二次型与正定矩阵的充要条件99

6.2.6 矩阵的等价、相似与合同99

6.2.8 判断负定二次型与负定矩阵的充要条件100

6.2.9 正定矩阵的性质101

6.2.10 二次曲面类型表101

6.3 典型例题解析101

6.3.1 二次型的矩阵101

6.3.2 用正交变换化二次型为标准形102

6.3.3 用配方法化二次型为标准形104

6.3.4 用初等变换化二次型为标准形106

6.3.5 正定矩阵的判定与证明107

6.3.6 有关正定矩阵命题的证明109

6.3.7 矩阵相似与合同的判定109

6.4 练习题111

附录1 历届全国考研数学试题中线性代数试题分数分布表113

附录2 模拟试题117

线性代数试题（1）117

线性代数试题（2）118

线性代数试题（3）119

线性代数试题（4）120

7.1.1 数域125

7.1.2 线性空间125

7.1 基本概念125

7 线性空间125

下篇125

7.1.3 线性表出、元素组的等价126

7.1.4 线性相关与线性无关126

7.1.5 秩与极大无关组126

7.1.6 基、维数与坐标126

7.1.7 基变换公式、过渡矩阵126

7.1.11 映射的相等、乘积和逆映射127

7.1.9 子空间的交、和与直和127

7.1.8 子空间、生成子空间127

7.1.10 映射127

7.2.1 线性空间的基本性质128

7.2.2 线性相关性的有关结论128

7.2.3 一些常见的线性空间128

7.1.12 线性空间的同构、同构映射128

7.2 重要结论与公式128

7.2.4 过渡矩阵、坐标变换公式129

7.2.5 线性子空间的有关结果129

7.2.6 一些常用的线性子空间129

7.2.7 直和的充要条件130

7.2.8 映射的有关结论130

7.2.9 同构映射的基本性质130

7.2.10 同构线性空间的有关结论131

7.3 典型例题解析131

7.3.1 线性空间的判定131

7.3.2 线性子空间的判定132

7.3.3 线性相关性的判别和秩与极大无关组的求法134

7.3.4 线性（子）空间的基与维数的求法137

7.3.5 求过渡矩阵及坐标142

7.3.6 子空间直和的判定与证明145

7.3.7 线性空间同构的判定与证明146

7.4 练习题147

8 λ-矩阵149

8.1 基本概念149

8.1.1 λ-矩阵的概念149

8.1.2 λ-矩阵的秩149

8.1.6 初等λ-方阵150

8.1.7 λ-矩阵的Smith标准形、不变因子150

8.1.5 λ-矩阵的等价150

8.1.4 λ-矩阵的初等变换150

8.1.3 可逆矩阵与逆矩阵150

8.1.8 λ-矩阵的行列式因子151

8.1.9 λ-矩阵的初等因子151

8.1.10 Jordan矩阵151

8.1.11 Frobenius矩阵151

8.1.12 矩阵的零化多项式与最小多项式151

8.2.3 初等λ-方阵的性质152

8.2.4 λ-矩阵在初等变换下的标准形152

8.2.1 λ-矩阵可逆的充要条件152

8.2.2 λ-矩阵的逆矩阵152

8.2 重要结论与公式152

8.2.5 行列式因子与不变因子的关系153

8.2.6 初等因子的有关结果153

8.2.7 λ-矩阵等价的充要条件153

8.2.8 矩阵相似的充要条件154

8.2.9 方阵的不变因子与初等因子的有关结果154

8.2.10 Jordan矩阵的初等因子154

8.2.11 Jordan标准形154

8.2.14 Hamilton-Cayley定理155

8.2.12 Frobenius矩阵的不变因子155

8.2.13 有理标准形155

8.2.16 矩阵可对角化的充要条件156

8.3 典型例题解析156

8.3.1 λ-矩阵的有关概念与计算156

8.3.2 求λ-矩阵的行列式因子159

8.3.3 求λ-矩阵的Smith标准形、不变因子和初等因子160

8.3.4 λ-矩阵的等价与矩阵相似的判断与证明163

8.3.5 求矩阵的Jordan标准形和有理标准形164

8.3.6 求相似变换矩阵169

8.3.7 Jordan标准形应用举例172

8.3.8 最小多项式的求法173

8.3.9 Hamilton-Cayley定理及最小多项式应用举例175

8.4 练习题176

9 线性变换178

9.1 基本概念178

9.1.1 线性变换的概念178

9.1.2 单位变换与零变换178

9.1.3 线性变换的运算178

9.1.6 线性变换的特征值与特征向量、特征子空间179

9.1.7 不变子空间179

9.1.5 线性变换的矩阵179

9.1.4 线性变换的值域与核179

9.2 重要结论与公式180

9.2.1 线性变换的基本性质180

9.2.2 线性变换运算的性质180

9.2.3 线性变换的值域与核的有关结果181

9.2.4 线性变换的矩阵的有关结果181

9.2.5 线性变换在不同基下矩阵之间的关系181

9.2.10 不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系182

9.2.8 Jordan定理182

9.2.9 Hamilton-Cayley定理182

9.2.6 线性变换的特征值与特征向量的性质182

9.2.7 判定线性变换在某个基下的矩阵为对角矩阵的条件182

9.3 典型例题解析183

9.3.1 线性变换的判定与证明183

9.3.2 求线性变换的矩阵185

9.3.3 线性变换的运算及相应的矩阵190

9.3.4 线性变换的值域与核的求法191

9.3.5 求线性变换的特征值与特征向量193

9.3.6 线性变换的矩阵化简195

9.3.7 不变子空间196

9.4 练习题198

10 欧氏空间200

10.1 基本概念200

10.1.1 内积及欧氏空间200

10.1.2 元素的长度、夹角与正交200

10.1.7 对称变换201

10.1.6 正交变换201

10.1.8 欧氏空间的同构201

10.1.4 正交基与标准正交基201

10.1.3 度量矩阵201

10.1.5 正交子空间与正交补201

10.1.9 元素的距离、元素到子空间的距离202

10.1.10 矩阵的列空间与零空间202

10.1.11 最小二乘法202

10.1.12 酉空间202

10.1.13 酉空间中的有关概念202

10.2.2 长度的基本性质203

10.2.3 一些常见的欧氏空间203

10.2.1 内积的性质203

10.2 重要结论与公式203

10.2.4 度量矩阵的有关结论204

10.2.5 正交元素组的性质204

10.2.6 Schmidt正交化方法204

10.2.7 标准正交基的有关结果204

10.2.8 正交子空间的有关结果204

10.2.9 正交变换的充要条件205

10.2.10 对称变换的有关结果205

10.2.11 同构欧氏空间的有关结论205

10.2.12 距离的基本性质205

10.2.17 酉空间中标准正交基的有关结果206

10.2.16 酉空间中度量矩阵的有关结论206

10.2.15 酉空间中内积的有关性质206

10.2.14 最小二乘解的有关结果206

10.2.13 矩阵列空间与零空间的性质206

10.2.18 酉矩阵的性质207

10.2.19 Hermite矩阵的性质207

10.2.20 酉变换的充要条件207

10.2.21 Hermite变换的有关结果207

10.2.22 Hermite二次型的主轴定理207

10.2.23 欧氏空间与酉空间的比较208

10.3.1 内积的构造与判定209

10.3 典型例题解析209

10.3.2 内积及度量矩阵的有关证明和计算210

10.3.3 标准正交基的求法213

10.3.4 正交补空间的计算与证明216

10.3.5 正交变换与对称变换的判定与证明218

10.3.6 酉空间的有关结果220

10.4 练习题223

附录3 理科模拟试题225

西北工业大学1999年硕士研究生入学试题225

西北工业大学2000年硕士研究生入学试题226

西北工业大学2001年硕士研究生入学试题227

西北工业大学2002年硕士研究生入学试题228

附录4 习题及模拟题精解230

习题精解230

第1章习题解答230

第2章习题解答231

第3章习题解答234

第4章习题解答238

第5章习题解答242

第6章习题解答247

第7章习题解答250

第8章习题解答254

第9章习题解答257

第10章习题解答261

模拟题精解264

线性代数试题（1）解答264

线性代数试题（2）解答265

线性代数试题（3）解答267

线性代数试题（4）解答269

西北工业大学1999年硕士研究生入学试题解答271

西北工业大学2000年硕士研究生入学试题解答273

西北工业大学2001年硕士研究生入学试题解答276

西北工业大学2002年硕士研究生入学试题解答279