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第1章 矩阵及其运算1

1.1　矩阵的概念2

1.1.1 矩阵的引入2

1.1.2　矩阵的概念4

1.1.3　几种重要的特殊矩阵5

习题1.17

1.2　矩阵的基本运算7

1.2.1　矩阵线性运算8

1.2.2　矩阵乘法9

1.2.3　方阵的幂与矩阵多项式12

1.2.4　矩阵的转置15

习题1.217

1.3　方阵的行列式19

1.3.1　行列式的定义20

1.3.2　行列式的性质28

1.3.3　行列式的计算33

习题1.338

1.4　方阵的逆矩阵39

1.4.1　逆矩阵概念39

1.4.2　逆矩阵性质40

1.4.3 逆矩阵运算性质41

1.4.4　有关逆矩阵的专题讨论43

习题1.451

1.5　分块矩阵52

1.5.1　分块矩阵的概念52

1.5.2　分块矩阵的运算52

1.5.3　常用分块方法与分块对角阵54

习题1.558

1.6　矩阵的初等变换与初等矩阵60

1.6.1　矩阵的初等变换60

1.6.2　初等矩阵64

1.6.3　初等变换的应用67

习题1.670

1.7　矩阵的秩72

1.7.1　矩阵秩的概念72

1.7.2　矩阵秩的基本性质76

习题1.777

1.8　基础复习题77

1.9　综合应用题80

第2章　线性方程组与向量组85

2.1　线性方程组求解问题86

2.1.1　线性方程组的一般概念86

2.1.2 线性方程组的求解与解的存在性87

2.1.3　线性方程组解的性质与解的结构99

习题2.1104

2.2　向量的线性组合与线性表示106

2.2.1 向量、向量组的概念106

2.2.2 向量的线性组合与线性表示108

2.2.3 向量组间向量的线性表示110

习题2.2113

2.3 向量的线性相关与线性无关114

习题2.3120

2.4　向量组的秩121

2.4.1 几个问题的深入思考121

2.4.2 向量组秩的概念及性质124

2.4.3 向量组的秩与矩阵的秩的关系126

习题2.4129

2.5　向量空间131

2.5.1 向量空间的一般概念131

2.5.2 向量空间的基、维数、向量的坐标132

2.5.3　赋予了内积的向量空间135

习题2.5141

2.6　线性空间简介142

2.7　基础复习题146

2.8　综合应用题148

第3章　相似矩阵与二次型153

3.1　线性变换初步154

习题3.1160

3.2　方阵的特征值和特征向量160

3.2.1　特征值和特征向量的概念161

3.2.2　特征值和特征向量的性质165

习题3.2168

3.3　矩阵的相似、合同与方阵的对角化169

3.3.1 相似矩阵及其性质169

3.3.2　方阵对角化的条件170

3.3.3 实对称阵对角化的条件172

习题3.3179

3.4　二次型及其标准形180

3.4.1　二次型的概念180

3.4.2　二次型化标准形问题182

习题3.4188

3.5　二次型的若干基本概念和理论189

3.5.1　二次型惯性定理189

3.5.2　二次型的正定性190

习题3.5193

3.6 二次型理论的简单应用194

3.6.1 正交变换在解析几何中的应用194

3.6.2 正定性在多元函数极值中的应用198

3.7　基础复习题200

3.8　综合应用题203

习题答案与提示207

参考文献224